Действия с десятичными дробями: правила и примеры

Как устроена десятичная дробь

Десятичная дробь — запись числа, в которой запятая отделяет целую часть от дробной. После запятой идут десятые, сотые, тысячные. Например, 3,275 — это 3 целых, 2 десятых, 7 сотых и 5 тысячных.

Представьте линейку: 0,1 м — десятая часть метра, а 0,01 м — сотая. Десять сотых составляют одну десятую: 0,10 = 0,1. Поэтому нули в конце дробной части не меняют число: 3,7 = 3,70 = 3,700. Но нуль между запятой и значащей цифрой убирать нельзя: 0,07 и 0,7 — разные числа.

Разберём действия с неотрицательными десятичными дробями. Эти правила пригодятся при изучении темы в 5–6 классе и при повторении вычислений к ОГЭ.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Запятая должна стоять под запятой. Тогда единицы окажутся под единицами, десятые — под десятыми, сотые — под сотыми. Складывать можно одинаковые доли: как рубли с рублями и копейки с копейками.

1. Запишите числа в столбик, совместив запятые.
2. Если знаков после запятой разное количество, допишите справа нули.
3. Выполните сложение или вычитание по разрядам.
4. В ответе поставьте запятую под запятыми исходных чисел.

Пример сложения: 3,7 + 2,651 = 3,700 + 2,651 = 6,351.

Пример вычитания: 3,7 − 2,651 = 3,700 − 2,651 = 1,049.

Для проверки вычитания прибавьте разность к вычитаемому: 1,049 + 2,651 = 3,700. Получили исходное число — вычисление верно.

Умножение десятичных дробей

При умножении запятые друг под другом ставить не требуется. Сначала умножьте числа без запятых, а затем восстановите разряды результата.

1. Выполните умножение, временно убрав запятые.
2. Сосчитайте общее количество цифр после запятой в обоих множителях.
3. Отделите столько же цифр справа в произведении. Если цифр не хватает, допишите нули слева.

Пример: 0,254 · 0,03. Сначала 254 · 3 = 762. В исходных множителях 3 + 2 = 5 знаков после запятой, поэтому 0,254 · 0,03 = 0,00762.

Ещё пример: 18 · 0,0006. Вычисляем 18 · 6 = 108 и отделяем четыре знака: 0,0108.

Почему это работает? 0,254 = 254 / 1000, а 0,03 = 3 / 100. Значит, произведение равно 762 / 100000.

Деление десятичных дробей

Сделайте делитель целым числом. Для этого перенесите запятую вправо на одинаковое количество знаков и в делимом, и в делителе. Частное не изменится: оба числа увеличатся в одинаковое число раз.

Пример: 12,096 : 2,24. В делителе две цифры после запятой, поэтому умножаем оба числа на 100:

12,096 : 2,24 = 1209,6 : 224 = 5,4.

При делении 1209,6 на 224 целая часть частного равна 5: 224 · 5 = 1120. Остаётся 89,6. После перехода к дробной части ставим запятую в частном: 89,6 : 224 = 0,4. Проверка: 5,4 · 2,24 = 12,096.

Если делимое меньше делителя, целая часть ответа равна нулю: 0,6 : 3 = 0,2. Делить на ноль нельзя.

Умножение и деление на 10, 100 и 1000

При умножении на 10, 100 или 1000 запятая переносится вправо на один, два или три знака. При делении — влево. Если цифр не хватает, дописываем нули.

• 3,75 · 10 = 37,5.
• 3,75 · 100 = 375.
• 3,75 : 10 = 0,375.
• 3,75 : 100 = 0,0375.

Сравнение десятичных дробей

Сначала сравните целые части. Если они равны, сравнивайте цифры после запятой слева направо: десятые, сотые, тысячные. При необходимости допишите справа нули.

• 3,3 > 3,25, потому что 3,30 > 3,25.
• 7,2 < 7,2006, потому что 7,2000 < 7,2006.
• 12,12 < 13,11: достаточно сравнить целые части 12 и 13.

Больше цифр после запятой не означает большее число. Например, 0,9 > 0,125, поскольку 900 тысячных больше 125 тысячных.

Десятичные дроби на координатном луче

Отрезок от 0 до 1 — единичный. Разделите его на десять равных частей: каждая часть равна 0,1. Если одну десятую разделить ещё на десять частей, получится шаг 0,01.

• A(0,56) находится между 0,5 и 0,6: на шесть сотых правее 0,5.
• B(0,8) находится на восьмой отметке десятых от нуля.
• C(1,24) находится между 1,2 и 1,3: на четыре сотых правее 1,2.

Чем правее точка, тем больше число. Для точного построения используйте масштаб и равные деления, а не оценивайте положение точки на картинке на глаз.

Частые ошибки

• При сложении выравнивают последние цифры вместо запятых. Исправление: сначала совместите разряды, при необходимости допишите нули.
• В произведении учитывают знаки после запятой только одного множителя. Исправление: сложите количество знаков в обоих множителях.
• При делении переносят запятую только в делителе. Исправление: изменяйте оба числа в одинаковое число раз.
• Сравнивают дробные части как отдельные целые числа. Исправление: 0,9 = 0,900, поэтому оно больше 0,125.

Проверьте себя

1. 2,45 + 0,7.
2. 5 − 1,86.
3. 0,12 · 0,4.
4. 7,56 : 0,6.
5. Сравните 0,72 и 0,702.