Как решать иррациональные уравнения

Уравнение с неизвестным под знаком корня называют иррациональным. Основная задача при его решении — избавиться от корней и получить знакомое линейное или квадратное уравнение. Но преобразования нужно выполнять внимательно: возведение в квадрат может добавить посторонние корни.

Разберём, как находить область допустимых значений, применять свойства квадратного корня и проверять полученные ответы.

Что нужно знать перед решением уравнения с корнем

Для квадратного корня действуют два важных условия:

• подкоренное выражение должно быть неотрицательным;
• значение квадратного корня всегда неотрицательно.

Например, выражение $\sqrt{x-3}$ определено при $x\ge 3$. А уравнение $\sqrt{x-3}=-2$ не имеет решений: неотрицательное число не может равняться отрицательному.

Поэтому перед вычислениями полезно оценить не только подкоренное выражение, но и другую часть уравнения.

Как найти ОДЗ иррационального уравнения

ОДЗ — область допустимых значений неизвестного, при которых все выражения в уравнении имеют смысл.

Если в уравнении есть квадратные корни, для каждого подкоренного выражения записывают условие: оно больше или равно нулю. Затем находят значения, удовлетворяющие всем условиям одновременно.

Для уравнения

получаем:

Оба ограничения выполняются при $x\ge 2$. Это и есть ОДЗ.

Если корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным: знаменатель не может равняться нулю.

Алгоритм решения иррациональных уравнений

1. Найдите ОДЗ. Запишите ограничения для всех выражений.
2. Изолируйте корень. По возможности оставьте один радикал в одной части уравнения.
3. Учтите знаки. Если квадратный корень равен выражению, это выражение должно быть неотрицательным.
4. Возведите обе части в квадрат. Правильно раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
5. Решите полученное уравнение. При необходимости повторите преобразования, сохраняя новые ограничения.
6. Проверьте найденные значения. Подставьте их в исходное уравнение и исключите посторонние корни.

Как решать простое иррациональное уравнение

Рассмотрим пример:

Сначала определим ОДЗ:

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно равносильно возвести их в квадрат:

Отсюда:

Проверяем:

Ответ: $x=11$.

Почему появляются посторонние корни

При возведении в квадрат теряется информация о знаке. Например, числа 3 и −3 различаются, но их квадраты равны.

Решим уравнение:

Из неотрицательности квадратного корня следует $x\ge 0$. Возводим обе части в квадрат:

Получили два значения: $x=2$ и $x=-1$.

Число −1 не подходит, поскольку правая часть исходного уравнения была бы отрицательной. Проверка подтверждает:

Для $x=2$ равенство выполняется:

Ответ: $x=2$. Число −1 — посторонний корень.

Как решать уравнения с двумя корнями

Рассмотрим уравнение:

ОДЗ: $x\ge 2$. Обе части неотрицательны. Возводим в квадрат, используя формулу квадрата суммы:

Оставляем корень отдельно:

Теперь появляется новое условие: $5-x\ge 0$, то есть $x\le 5$. Вместе с ОДЗ получаем $2\le x\le 5$.

На этом промежутке снова возводим в квадрат:

Проверяем исходное уравнение:

Ответ: $x=3$.

Какие ошибки чаще всего мешают решить уравнение

При решении иррациональных уравнений важно не забывать ограничения и не пропускать проверку. Особенно внимательно нужно раскрывать квадрат суммы:

Если убрать удвоенное произведение, получится другое уравнение. Также нельзя считать, что любой корень полученного квадратного уравнения автоматически подходит к исходному.

В красочном конспекте по иррациональным уравнениям собраны теоремы с объяснениями, алгоритм решения и подробные примеры. Откройте материал, чтобы повторить правила и разобраться, почему выполняется каждый шаг.