Свойства корней высших степеней: как понимать и применять формулы

Как применять свойства корней, выносить множители из-под корня и переходить к дробным степеням. Понятный конспект с формулами и примерами.

Как упростить выражение с корнями? Когда при извлечении корня появляется модуль? Как записать корень в виде дробной степени? В этом конспекте собраны основные свойства корней высших степеней с объяснениями и примерами применения.

Материал поможет разобраться в формулах, повторить тему перед контрольной работой и научиться выбирать подходящее преобразование при решении заданий.

Как извлечь корень из степени

Сначала нужно определить, чётная или нечётная степень корня.

При извлечении нечётного корня из соответствующей степени знак исходного числа сохраняется. Например, кубический корень из ${(- 5)}^{3}$ равен $- 5$ .

С чётным корнем действует другое правило: результат должен быть неотрицательным. Поэтому квадратный корень из $a^{2}$ равен модулю $a$ . Так, $\sqrt{{(- 7)}^{2}} = 7$ .

В конспекте показано, почему нельзя автоматически сокращать степень и корень, не учитывая знак выражения.

Как применять свойства корня из произведения и частного

Свойство корня из произведения помогает находить удобные множители и выносить их из-под знака корня. Например, число 16 можно представить как произведение 8 и 2. Тогда:

\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2 \sqrt[3]{2}

Свойство корня из частного позволяет отдельно извлечь корень из числителя и знаменателя:

\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2}

Рядом с формулами указаны условия их применения: какие значения могут принимать подкоренные выражения и почему знаменатель не должен быть равен нулю.

Как возвести корень в степень и извлечь корень из корня

При возведении корня в степень можно перенести показатель под знак корня, соблюдая условия формулы.

Если один корень находится под другим, степени корней перемножают. Например:

\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64} = 2

На примерах разбираем, чем это преобразование отличается от сокращения общего множителя в степени корня и показателе подкоренной степени.

Как перейти от корня к дробной степени

Дробный показатель помогает записывать и преобразовывать выражения с радикалами. Его знаменатель указывает степень корня, а числитель — степень подкоренного числа.

Например:

16^{\frac{3}{4}} = {(\sqrt[4]{16})}^{3} = 8

В конспекте также рассмотрен отрицательный дробный показатель: как перейти к обратному числу и выполнить вычисление по шагам.

Откройте конспект «Корни высших степеней», чтобы повторить свойства, разобраться с условиями формул и проследить решения примеров.

Проверь себя

Реши пять заданий. После ошибки откроются объяснение и похожий пример: для каждого задания есть ещё две попытки с новыми условиями.

Проверка — по кнопке «Проверить» или Enter. Пустой ответ и неверный формат не расходуют попытку.

Прогресс сохраняется в этом браузере; у каждого вошедшего пользователя — отдельно.

Решено: 0 из 5.