Куб: диагонали, площадь поверхности и объём
Формулы диагоналей, площади поверхности и объёма куба. Вписанная и описанная сферы, примеры решений и красочный конспект для повторения.
Красочный конспект
Куб — многогранник, у которого все шесть граней — равные квадраты. У куба 12 рёбер и 8 вершин. Длину ребра обозначим буквой a.
Представьте кубическую коробку: ребро идёт вдоль её края, диагональ грани — по одной стенке, а диагональ куба проходит внутри от одной вершины к противоположной.
Основные формулы куба
| Что найти | Формула | Что означает |
|---|---|---|
| Диагональ грани l | l = a√2 | Соединяет противоположные вершины одной квадратной грани. |
| Диагональ куба d | d = a√3 | Соединяет вершины, которые не лежат на одной грани. |
| Площадь полной поверхности S | S = 6a² | Сумма площадей шести квадратных граней. |
| Объём V | V = a³ | Произведение длины, ширины и высоты куба. |
| Радиус вписанной сферы r | r = a / 2 | Расстояние от центра куба до центра любой грани. |
| Радиус описанной сферы R | R = a√3 / 2 | Расстояние от центра куба до любой вершины. |
Если ребро дано в сантиметрах, диагонали и радиусы измеряются в см, площадь — в см², объём — в см³.
Почему диагонали равны a√2 и a√3
Диагональ квадратной грани — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и a. По теореме Пифагора: l² = a² + a² = 2a². Поэтому l = a√2.
Диагональ куба — гипотенуза другого прямоугольного треугольника. Его катеты — диагональ грани l и перпендикулярное этой грани ребро a. Поэтому d² = l² + a² = 2a² + a² = 3a², откуда d = a√3.
Как решать задачи на куб
- Определите, что дано и что нужно найти: ребро, диагональ, площадь, объём или радиус.
- Если ребро неизвестно, сначала найдите его: a = l / √2; a = d / √3; a = √(S / 6); a = ∛V.
- Выберите формулу нужной величины и подставьте найденное ребро.
- Вычислите ответ и проверьте единицы измерения.
Пример 1. Ребро куба равно 3 см
Найдём обе диагонали, площадь поверхности и объём.
- Диагональ грани: l = 3√2 см.
- Диагональ куба: d = 3√3 см.
- Площадь поверхности: S = 6 · 3² = 54 см².
- Объём: V = 3³ = 27 см³.
Сфера, вписанная в куб
Вписанная сфера находится внутри куба и касается всех шести граней. Её диаметр равен расстоянию между противоположными гранями, то есть ребру куба: 2r = a. Поэтому r = a / 2.
Сфера, описанная вокруг куба
Описанная сфера проходит через все восемь вершин куба. Диагональ куба проходит через её центр и равна диаметру: 2R = d. Поэтому R = d / 2 = a√3 / 2.
Запомните: вписанная сфера касается граней, описанная проходит через вершины.
Пример 2. Ребро куба равно 6 см
Радиус вписанной сферы: r = 6 / 2 = 3 см. Радиус описанной сферы: R = 6√3 / 2 = 3√3 см.
Пример 3. Диагональ куба равна 4√3 см
Найдём объём. Сначала выразим ребро: a = d / √3 = 4√3 / √3 = 4 см. Затем V = 4³ = 64 см³.
Типичные ошибки
- Путать диагональ грани a√2 с диагональю куба a√3. Сначала определите, лежит ли отрезок на одной грани.
- Считать a² площадью всей поверхности. Это площадь только одной грани; у куба их шесть.
- Брать весь диаметр вместо радиуса. Радиус вдвое меньше диаметра.
- Записывать объём в см². Для объёма нужны кубические единицы — см³.
Проверьте себя
- Ребро куба равно 2 см. Найдите площадь поверхности и объём.
- Ребро куба равно 4 см. Найдите диагональ куба.
- Радиус сферы, вписанной в куб, равен 5 см. Найдите ребро куба.
Показать ответы
1) 24 см² и 8 см³. 2) 4√3 см. 3) 10 см.
Связанная тема: Шар и сфера: отличия, площадь поверхности и объём.