Шар и сфера: отличия, площадь поверхности и объём
Чем шар отличается от сферы. Формулы площади сферы, объёма шара и большого круга, примеры решений и красочный конспект для повторения.
Красочный конспект
Сфера — поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии R от центра O. Шар — тело внутри этой поверхности вместе с её границей.
Представьте сплошной круглый шарик. Весь шарик — модель шара, а только его внешняя поверхность — модель сферы. У сферы находят площадь, у шара — объём.
Радиус и диаметр
Радиус R соединяет центр с точкой сферы. Диаметр D проходит через центр и соединяет две точки сферы. Он равен двум радиусам: D = 2R, поэтому R = D / 2.
Основные формулы шара и сферы
| Что найти | Формула | Что означает |
|---|---|---|
| Диаметр | D = 2R | Длина отрезка через центр между двумя точками сферы. |
| Площадь большого круга | Sкруга = πR² | Площадь центрального сечения шара. |
| Длина окружности большого круга | L = 2πR = πD | Длина границы центрального сечения. |
| Площадь сферы | Sсферы = 4πR² | Площадь всей поверхности шара. |
| Объём шара | V = (4 / 3)πR³ | Объём пространства, занимаемого шаром. |
Здесь π — число пи, приблизительно равное 3,14159. Если округление не требуется, оставляйте π в точном ответе. При радиусе в сантиметрах длины получаются в см, площади — в см², объём — в см³.
Что такое большой круг шара
Если разрезать шар плоскостью через центр, получится круг радиуса R. Его называют большим кругом шара. Его площадь равна πR², а длина ограничивающей его окружности — 2πR.
Сечение шара — круг, то есть вся плоская фигура внутри границы. Сечение сферы той же плоскостью — окружность, то есть только граница этого круга. Сечение через центр имеет наибольшую площадь среди плоских сечений шара.
Как выбрать нужную формулу
- Если дан диаметр, разделите его на 2 и найдите радиус.
- Уточните, что нужно найти. Площадь сечения через центр — πR²; площадь всей поверхности — 4πR²; объём — (4 / 3)πR³.
- Подставьте радиус. Для площади возведите его в квадрат, для объёма — в куб.
- Вычислите ответ и проверьте единицы измерения.
Пример 1. Радиус шара равен 3 см
- Площадь большого круга: Sкруга = π · 3² = 9π см².
- Длина его окружности: L = 2π · 3 = 6π см.
- Площадь сферы: Sсферы = 4π · 3² = 36π см².
- Объём шара: V = (4 / 3)π · 3³ = 36π см³.
У площади сферы и объёма шара в этом примере совпала числовая часть — 36π. Но это разные величины с разными единицами измерения.
Пример 2. Диаметр шара равен 10 см
Найдём площадь поверхности. Сначала определим радиус: R = 10 / 2 = 5 см. Затем Sсферы = 4π · 5² = 100π см².
Как меняются площадь и объём при увеличении радиуса
Если радиус увеличить в 2 раза, площадь сферы увеличится в 2² = 4 раза, а объём шара — в 2³ = 8 раз. В общем случае при увеличении радиуса в k раз площадь увеличивается в k² раз, объём — в k³ раз.
Типичные ошибки
- Подставлять диаметр вместо радиуса. Если дан D, сначала найдите R = D / 2.
- Использовать πR² для площади всей сферы. Это площадь большого круга; площадь сферы равна 4πR².
- Путать круг с окружностью: у круга есть площадь, у окружности находят длину.
- Забывать множитель 4 / 3 в формуле объёма.
- Считать πR² площадью любого сечения. Радиус сечения равен R только тогда, когда плоскость проходит через центр шара.
Проверьте себя
- Радиус шара равен 2 см. Найдите площадь сферы.
- Диаметр шара равен 12 см. Найдите площадь большого круга.
- Радиус шара увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличился объём?
Показать ответы
1) 16π см². 2) 36π см². 3) В 27 раз.
Связанная тема: Куб: диагонали, площадь поверхности и объём.