Параллелепипед: объём, площадь поверхности и диагонали

Что такое параллелепипед

Параллелепипед — это многогранник, у которого все шесть граней являются параллелограммами. У него 8 вершин и 12 рёбер. Противоположные грани равны и параллельны. Любую грань можно выбрать основанием: противоположная станет вторым основанием, а четыре оставшиеся — боковыми гранями.

Прямоугольный параллелепипед похож на обычную коробку: все его грани — прямоугольники. Три ребра, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны. Их длины обозначают a, b и c. Если все три длины равны, получается куб.

Объём прямоугольного параллелепипеда

Чтобы найти объём, умножаем длину, ширину и высоту:

V = a · b · c.

Представьте коробку из единичных кубиков. В одном слое помещается a · b кубиков, а таких слоёв по высоте — c. Поэтому объём равен произведению трёх измерений.

Например, при a = 3 см, b = 4 см и c = 12 см получаем V = 3 · 4 · 12 = 144 см³.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

У коробки три пары одинаковых граней. Площади одной грани из каждой пары равны ab, ac и bc. Складываем их и умножаем на два:

S_полн = 2(ab + ac + bc).

Если основанием выбран прямоугольник со сторонами a и b, высота равна c. Тогда площадь основания и его периметр:

S_осн = ab; P_осн = 2(a + b).

Боковая поверхность состоит из четырёх стенок, без двух оснований:

S_бок = 2ac + 2bc = 2(a + b)c.

Для рёбер 3 см, 4 см и 12 см: S_бок = 2 · (3 + 4) · 12 = 168 см², а S_полн = 2 · (12 + 36 + 48) = 192 см².

Диагональ грани и диагональ параллелепипеда

Диагональ грани лежит на одном прямоугольнике. Для грани со сторонами a и b по теореме Пифагора:

l_ab = √(a² + b²).

Для двух других видов граней: l_ac = √(a² + c²), l_bc = √(b² + c²).

Диагональ тела соединяет противоположные вершины и проходит внутри параллелепипеда. Для прямоугольного параллелепипеда:

d = √(a² + b² + c²).

Почему в формуле три квадрата? Сначала находим диагональ основания: AC² = a² + b². Затем используем прямоугольный треугольник ACC₁: d² = AC² + c². Подставляем первое равенство во второе.

При a = 3 см, b = 4 см, c = 12 см диагональ основания равна √(9 + 16) = 5 см, а диагональ тела — √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 см.

Как найти неизвестное ребро

Если известны диагональ тела d и два ребра a и b, из равенства d² = a² + b² + c² выражаем третье ребро:

c = √(d² − a² − b²).

Например, d = 13 см, a = 3 см, b = 4 см. Тогда c = √(169 − 9 − 16) = √144 = 12 см.

Объём и поверхность параллелепипеда в общем случае

У наклонного параллелепипеда боковые рёбра не перпендикулярны основанию. Высота h — это расстояние между плоскостями оснований, измеренное по перпендикуляру. Она не равна длине наклонного бокового ребра.

Для любого параллелепипеда:

V = S_осн · h.

Если площадь основания равна 24 см², а высота — 5 см, объём равен 24 · 5 = 120 см³.

Полная поверхность складывается из двух оснований и четырёх боковых граней:

S_полн = 2S_осн + S_бок.

Здесь S_бок — сумма площадей четырёх боковых параллелограммов. Формулы V = abc и d = √(a² + b² + c²) нельзя автоматически применять к наклонному параллелепипеду.

Как выбрать формулу в задаче

1. Уточните вид фигуры: прямоугольный параллелепипед или общий случай.
2. Отметьте известные длины на рисунке. Различайте диагональ грани и диагональ тела.
3. Для боковой поверхности определите, какая грань выбрана основанием.
4. Приведите длины к одинаковым единицам, затем подставьте значения в формулу.
5. Запишите единицы ответа: длина — см, площадь — см², объём — см³.

Проверьте себя

1. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3 и 6 см. Найдите объём.
2. Для той же фигуры найдите площадь полной поверхности.
3. Найдите диагональ тела при рёбрах 2, 3 и 6 см.
4. Площадь основания наклонного параллелепипеда — 18 см², высота — 4 см. Найдите объём.