Проценты: что это такое и как решать задачи

Что такое процент и что принимают за 100%

Процент — одна сотая часть целого. Знак % читается «процент». Записи 1%, 1/100 и 0,01 обозначают одну и ту же долю. Если весь запас разделить на сто равных частей, одна такая часть будет составлять 1% запаса.

За 100% принимают всю величину, с которой сравнивают её части. В задаче это может быть исходная цена, длина пути, масса смеси или общее количество предметов. Сначала подпиши, что именно в условии означает 100%.

50% — половина, 25% — четверть, 20% — пятая часть, 10% — десятая часть. Проценты могут быть больше ста: 150% некоторой величины — это полторы такие величины.

Как переводить проценты в дроби и обратно

Чтобы перевести проценты в число, раздели количество процентов на 100: 32% = 32/100 = 0,32; 6% = 0,06; 125% = 1,25. После перевода знак % уже не пишут.

Чтобы записать число в процентах, умножь его на 100 и допиши знак %: 0,27 = 27%; 0,8 = 80%; 1,4 = 140%. Обыкновенную дробь тоже можно перевести: 3/5 = 0,6 = 60%.

Следи за нулями: 0,06 — это 6%, а 0,6 — это 60%. Половина одного процента равна 0,5% = 0,005.

Как найти процент от числа

Если известно целое и нужно найти его часть, раздели целое на 100 и умножь на количество процентов. Или умножь целое на проценты, записанные десятичной дробью.

Задача. Для выставки подготовили 240 фотографий. В чёрно-белом исполнении сделано 35% всех фотографий. Сколько таких фотографий?

Находим 1%: 240 : 100 = 2,4. Затем 35%: 2,4 · 35 = 84. Короткая запись: 240 · 0,35 = 84. Ответ: 84 фотографии. Промежуточное значение 2,4 допустимо: одна сотая общего количества не обязана быть целым числом, хотя итоговое количество фотографий здесь целое.

Правило: часть = целое · p/100, где p — количество процентов. Если p меньше 100 и целое положительное, найденная часть должна быть меньше целого.

Как найти число по его проценту

Если известны часть и соответствующий ей процент, сначала найди 1%, затем 100%. Для этого раздели известную часть на количество процентов и умножь на 100. Другой способ — разделить часть на процентную дробь.

Задача. В школьной мастерской осталось 54 заготовки. Это 30% первоначального запаса. Сколько заготовок было сначала?

Один процент: 54 : 30 = 1,8. Весь запас: 1,8 · 100 = 180. Можно сразу: 54 : 0,30 = 180. Проверка: 180 · 0,30 = 54. Ответ: 180 заготовок.

Правило: целое = часть : (p/100). Не умножай известную часть на p/100: так получится ещё меньшая часть, а требуется восстановить всё количество.

Как узнать, сколько процентов составляет часть

Раздели часть на целое, а результат умножь на 100%. Если сравниваешь величины с единицами измерения, сначала приведи их к одной единице.

Задача. В библиотеку поступило 80 книг, среди них 28 сборников рассказов. Какой процент новых книг составляют сборники?

Доля сборников: 28 : 80 = 0,35. Переводим в проценты: 0,35 · 100% = 35%. Ответ: 35%. В знаменателе должно стоять общее количество 80, принятое за 100%.

Например, 45 см от полосы длиной 3 м составляют 45 : 300 · 100% = 15%. Делить 45 на 3 здесь нельзя, пока сантиметры и метры не приведены к одной единице.

Как решать задачи на скидку и увеличение величины

Уменьшить число на p% — значит вычесть p% исходного числа. Увеличить на p% — прибавить эту часть. При уменьшении остаётся (100 − p)%, при увеличении получается (100 + p)% исходной величины.

Задача. Набор для рисования стоил 960 рублей. На него дали скидку 15%. Сколько стоит набор после скидки?

Скидка: 960 · 0,15 = 144 рубля. Новая цена: 960 − 144 = 816 рублей. Второй способ: 960 · 0,85 = 816. Ответ: 816 рублей. Найти размер скидки и найти цену после скидки — разные вопросы.

Пример увеличения. В кружке было 40 участников, затем их количество выросло на 20%. Прибавилось 40 · 0,20 = 8 человек; стало 48. Увеличить на 100% означает удвоить величину, а увеличить на 200% — утроить её.

Как восстановить первоначальную величину после изменения

Определи, какой процент первоначальной величины составляет новый результат. Затем найди целое по этой части.

Задача. После скидки 20% рюкзак стоит 1440 рублей. Какова была цена до скидки?

Новая цена составляет 100% − 20% = 80% прежней. Поэтому прежняя цена: 1440 : 0,8 = 1800 рублей. Проверка: 1800 · 0,8 = 1440. Прибавлять 20% к 1440 нельзя: скидка считалась от другой, первоначальной цены.

Похожий приём помогает найти запас по остатку. Если израсходовано 25%, то осталось 75%. Когда эти 75% равны 90 кг, исходный запас равен 90 : 0,75 = 120 кг.

Как считать два изменения подряд и проценты от процентов

При последовательных изменениях уточняй, от какой величины берут очередной процент. Второе изменение часто относится уже к новому значению. В этом случае складывать проценты напрямую нельзя.

Задача. В коллекции было 200 значков. Её сначала увеличили на 20%, а затем ещё на 10% от нового количества. Сколько значков стало?

После первого пополнения: 200 · 1,2 = 240. После второго: 240 · 1,1 = 264. Общий прирост — 64 значка, то есть 64 : 200 · 100% = 32%, а не 30%.

Проценты от процентов находят умножением соответствующих дробей. Например, 60% участников фестиваля выбрали мастер-классы, а 25% этой группы — керамику. Керамику выбрали 0,60 · 0,25 = 0,15, то есть 15% всех участников.

Если величина сначала выросла на 10%, а затем уменьшилась на 10%, исходное значение не восстановится: 100 · 1,1 · 0,9 = 99. Вторые 10% считаются от 110.

Как сравнивать величины в процентах и оценивать ответ

В вопросе «на сколько процентов больше или меньше?» сначала найди разность, затем раздели её на величину, с которой сравнивают, и умножь на 100%. Важно выбрать правильную основу сравнения.

Например, в одном наборе 50 деталей, а в другом 40. Первый набор больше второго на 10 : 40 · 100% = 25%. Второй меньше первого на 10 : 50 · 100% = 20%. Проценты различаются, потому что за 100% каждый раз берут разное количество.

Не путай проценты и процентные пункты. Рост доли с 20% до 30% — это 10 процентных пунктов. Относительно прежней доли рост составляет (30 − 20) : 20 · 100% = 50%.

Для прикидки удобно помнить: 50% — половина, 25% — четверть, 20% — пятая часть. Например, 19% от 510 близко к 20% от 500, то есть к 100. Прикидка проверяет порядок ответа, но не заменяет точное вычисление, если оно требуется.

Дополнительный пример: процент вещества в смеси

Процент вещества в смеси — его масса, делённая на массу всей смеси и умноженная на 100%. За 100% принимают всю смесь, а не только воду или только сухое вещество.

Пример. В 200 г смеси содержится 20 г соли. Доля соли: 20 : 200 · 100% = 10%. Если добавить 50 г воды, масса соли останется 20 г, а масса смеси станет 250 г. Новый процент соли: 20 : 250 · 100% = 8%.

Общий порядок решения: выбери целое за 100%, выпиши известные данные, определи неизвестное, выбери действие и проверь смысл ответа. В задачах в несколько действий заново уточняй целое после каждого изменения.

Конспект

Нажми на изображение, чтобы открыть его в полном размере.