Решение задач на дроби

Как понять условие задачи на дроби

Перед вычислениями реши, какую величину принимаешь за целое. Это может быть весь запас, длина маршрута, число предметов или время работы. Целому соответствует единица. Дробь показывает, сколько равных долей этого целого рассматривается.

Запиши рядом три величины: целое, его часть и дробь. Отметь, какая из них неизвестна. Например, в условии «из 40 деталей проверили 3/8» известно целое 40 и дробь 3/8; найти нужно число проверенных деталей. Полоска, разделённая на восемь равных отрезков, помогает увидеть, что нужно взять три таких отрезка.

Как найти дробь от числа

Раздели целое на знаменатель — получишь величину одной доли. Затем умножь её на числитель. Короткая запись того же действия: целое · дробь.

Пример. Для мозаики приготовили 40 деталей, из них 3/8 — зелёные. Одна восьмая — это 40 : 8 = 5 деталей. Три восьмых — 5 · 3 = 15 деталей. Ответ: 15 зелёных деталей.

Проверка смысла: дробь 3/8 меньше единицы, поэтому найденная часть должна быть меньше 40. Если получилось больше, проверь выбор действия.

Как найти число по его дроби

Если известна величина нескольких долей, сначала найди одну долю: раздели известную часть на числитель. Затем умножь на знаменатель. Можно сразу разделить известную часть на соответствующую ей дробь.

Пример. На полке 18 книг о природе — это 3/7 всех книг. Одна седьмая содержит 18 : 3 = 6 книг, значит всего на полке 6 · 7 = 42 книги. Проверка: 42 : 7 · 3 = 18.

Не путай два вопроса: «Сколько составляет 3/7 от 42?» требует найти часть; «18 — это 3/7 какого числа?» требует восстановить целое.

Какую часть одно число составляет от другого

Раздели величину части на величину целого. Если это длины, массы или другие измерения, сначала приведи их к одинаковым единицам. Результат показывает долю и сам не измеряется в метрах или килограммах.

Пример. Из 28 открыток 8 подписаны. Подписанные открытки составляют 8/28 = 2/7 всего количества. В знаменатель ставим 28, потому что именно все открытки приняты за целое.

Ещё пример: 30 см от ленты длиной 2 м — это 30/200 = 3/20 ленты. Запись 30/2 была бы ошибкой: сантиметры и метры сначала нужно согласовать.

Как найти оставшуюся часть и восстановить целое по остатку

Чтобы узнать долю остатка, вычти из единицы долю использованного. Если использовали несколько долей одного и того же целого, сначала сложи их. Затем работай с остатком как с обычной частью.

Пример. На макет ушло 2/9 листа картона, на карточки — ещё 1/3 того же листа. Использовано 2/9 + 3/9 = 5/9, осталось 1 − 5/9 = 4/9 листа.

Если остаток составляет 32 см², то 4/9 площади листа равны 32 см². Одна девятая — 32 : 4 = 8 см², весь лист — 8 · 9 = 72 см².

Иногда известная величина соответствует разности долей. Например, выполнено сначала 1/4 всей работы, затем ещё 12 деталей, и всего готово 1/2 работы. Значит 12 деталей — это 1/2 − 1/4 = 1/4 всего заказа; весь заказ содержит 12 · 4 = 48 деталей.

Как увеличить или уменьшить величину на её дробь

Сначала вычисли указанную долю исходной величины. При увеличении прибавь её к исходному значению, при уменьшении — вычти. Уменьшить на 1/5 не означает оставить 1/5: остаются 4/5.

Пример. Длина дорожки 150 м. Её увеличили на 2/15 прежней длины: добавили 150 : 15 · 2 = 20 м. Новая длина — 170 м. Если бы такую дорожку укоротили на 2/15 исходной длины, осталось бы 130 м.

Как найти часть от части и дробь от остатка

Уточни, к чему относится каждая дробь. Слова «от оставшегося» меняют величину, принятую за целое на следующем шаге. Такие доли нельзя просто складывать с долями первоначального количества.

Пример. Из 60 наклеек сначала использовали 1/3 всех наклеек. Осталось 60 − 20 = 40. Затем взяли 3/10 остатка: 40 : 10 · 3 = 12. Теперь осталось 40 − 12 = 28 наклеек.

Долю окончательного остатка можно получить без подсчёта наклеек: после первого шага осталось 2/3, а после второго сохранилось 7/10 от этого остатка. Получаем 2/3 · 7/10 = 7/15 первоначального количества. Проверка: 60 · 7/15 = 28.

В задачах в несколько действий подписывай промежуточный результат: «от всего количества» или «от остатка». Это помогает выбрать верную основу для следующего вычисления.